Линия откоса

Линия откоса — кривая в трёхмерном евклидовом пространстве, касательная к которой образует постоянный угол с какой-либо прямой (направлением откоса).

Примеры

Все плоские кривые являются линиями откоса. Более содержательный пример — винтовые линии, определяемые как линии на цилиндре или конусе, расположенные под постоянным углом к направляющим.

Свойства

• У линий откоса отношения кручения к кривизне постоянно везде, где кривизна не равна нулю (теорема Ланкре; следует из формул Френе).
  • Более того, всякая кривая, отношение кручения к кривизне которой постоянно, является линей откоса.

• Касательная индикатриса касательных к линии откоса — окружность.

• Ортогональные проекции линий откоса на сфере — эпициклоиды, проекции линий откоса на параболоиде вращения на плоскость, перпендикулярную направлению параболоида — эвольвенты круга.

• Главные нормали линии откоса параллельны некоторой плоскости.
  • Верно и обратное: всякая дважды непрерывно дифференцируемая кривая, у которой существует плоскость, которой параллельны все главные нормали, является линей откоса.

• Эвольвента линии откоса являются плоской кривой.

История

Впервые систематически изучены австрийским геометром Эмилем Мюллером (нем. Emil Müller; 1861—1928), им же введён термин — нем. Böschungslinien.

Литература

• В. Бляшке. Диференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М.: ОНТИ, 1935. — 331 с.
• Откоса линия — статья из Математической энциклопедии. E. В. Шипин
• Weisstein, Eric W. Curve of Constant Slope (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.